Überlegungen zur Modellierung von Produktionsfunktionen
Peter Wagner, Gießen

Abstract

Determining the optimal special intensity of land use is one of the key questions in agricultural economics. With regard to the law of diminishing returns, the point of the optimal special intensity is found where the marginal input equals the marginal output. There are many prognoses on the extend of reducing special intensity of land use due to price variations. But, rarely they find full confirmation in empirical studies of farmers behaviour. The paper starts with a discussion of the LIEBIG-function versus the law of diminishing returns. The LIEBIG-function, also known as "law of the minimum", assumes a proportional increase of yield in variation of one growth factor until another one gets to be the minimum factor. It is worked out as central result, why the reduction of the special intensity of land use due to price variations observed on farms must be much less than expected by using response functions, commonly derived by statistical analyses of field records.

Zusammenfassung

Vielfach werden Prognosen zur Anpassung der speziellen Intensität aufgrund von Produkt- oder Faktorpreisvariationen auf Basis von Produktionsfunktionen ertragsgesetzlichen Verlaufs vorgenommen. Solche Prognosen finden selten in vollem Umfang empirische Bestätigung. Der Beitrag zeigt, ausgehend von einer Gegenüberstellung der LIEBIG-Funktion und Funktionen ertragsgesetzlichen Verlaufs, weshalb die Empirie der gängigen Theorie nicht folgt. Als zentrales Ergebnis wird herausgearbeitet, weshalb die in der Realität auf den Betrieben zu beobachtenden Intensitätsrückführungen aufgrund von Produkt- oder Faktorpreisvariationen wesentlich geringer ausfallen müssen, als sie sich nach flach verlaufenden "Ertragsgesetzen" kurvenförmigen Verlaufs, wie sie häufig aus Schlagkarteidaten geschätzt werden, errechnen lassen.

1 Einleitung

Die Annahme bestimmter landwirtschaftlicher Produktionsfunktionen bzw. eines bestimmten Typs von Produktionsfunktionen bilden vielfach die Basis zu Überlegungen bezüglich der speziellen Intensität der Landbewirtschaftung und zur Ableitung des ökonomischen Optimums. Darüber hinaus sind Produktionsfunktionen die Grundlage zur Prognose der Reaktionsveränderungen von Landwirten auf neue agrarpolitische Maßnahmen. Es drängt sich bei der enormen Relevanz der daraus gezogenen Schlußfolgerungen die Frage auf, ob diesbezügliche Untersuchungen jeweils von der "richtigen" Produktionsfunktion ausgehen, denn die Art und der Verlauf der unterstellten Produktionsfunktion hat maßgeblichen Einfluß auf die Ergebnisse der Diskussion. Eine nähere Beleuchtung dieser zentralen Problematik ist daher angezeigt.

2 Eine naturwissenschaftlich orientierte Diskussion von Produktionsfunktionen

Vielfach wird empfohlen, bei Rückgang der Produktpreise - die gleichen Aussagen gelten ebenso bei einer Erhöhung der Faktorpreise - die spezielle Intensität zu reduzieren. Diese Empfehlungen sind um so richtiger, je ausgeprägter die unterliegende Produktionsfunktion dem Gesetz vom abnehmenden Ertragszuwachs gehorcht. Eine Senkung der Produktpreise führt im Gegensatz dazu zu keinerlei Rücknahme der speziellen Intensität, wenn im Extremfall eine linear-limitationale Produktionsfunktion gilt.

Verschiedene Erkenntnisse sprechen dafür, daß die LIEBIG-Funktion als linear-limitationale Produktionsfunktion bei der Erklärung der Ertragsbildung unserer Kulturpflanzen und bei der Erklärung der Handlungsweise der Landwirte mehr Berücksichtigung finden sollte.

PARIS und KNAPP (1989) sehen zumindest keine Rechtfertigung dafür, eine Funktion mit Kurvenverlauf der LIEBIG-Funktion vorzuziehen: "The von Liebig response function provides a challenging interpretation of the agronomic relations between yield and nutrients. Although it is not likely the ultimate agronomic interpretation, it should not be summarily discarded as agricultural economists and agronomists have so often done." (PARIS und KNAPP 1989, S. 185).

Neben verschiedenen anderen Beiträgen zum Thema sei vor allem ein Beitrag von GRIMM, PARIS und WILLIAMS (1987) hervorgehoben. Die Autoren fanden in ihren Untersuchungen, daß die LIEBIG-Funktion "is a strong candidate for representing crop response to macro nutrients in a homogenous setting of soil and climate conditions" und weiter: "... it is capable of explaining crop response at least as well as, and often better than, the most regarded specification." GRIMM, PARIS und WILLIAMS (1987, S.190).

Im deutschsprachigen Raum schlägt nun auch BAEUMER vor, zu Düngungungsempfehlungen anstelle von Polynomialfunktionen eher - wie er sie nennt - "Knotenfunktionen" zu verwenden, da sie "die Aufgabe einer 'regulierenden Idee' [hinsichtlich des Stickstoffeinsatzes, Anm. d. Verfassers] im Integrierten Pflanzenbau ... besser erfüllen ... als die bisher üblichen Optimumfunktionen (BAEUMER, 1994, S.102ff). Bei der von BAEUMER vorgeschlagenen "Knotenfunktion" handelt es sich tatsächlich um eine linear-limitationale Ertragsfunktion.

Auch BERG (1994) geht davon aus, daß die LIEBIG-Funktion durchaus zur Erklärung des Phänomens der Ertragsbildung heranzuziehen ist. Er begründet dies im wesentlichen mit dem stochastischen Einfluß der Witterung.

Ebenso KUHLMANN (1992), der die LIEBIG-Funktion für den Aspekt der genetischen Variabilität innerhalb eines Kulturpflanzenbestandes rechtfertigt. KUHLMANNs Ansatz ist darüber hinaus in die Zukunft orientiert, wenn er feststellt, daß durch züchterische Erfolge die genetische Variabilität unserer Kulturpflanzen weiter zurückgehen wird und somit die LIEBIG-Funktion einen immer besseren Beitrag zur Erklärung des Phänomens der Ertragsbildung leisten wird (KUHLMANN 1992, S. 227). Letzteres soll hier kurz aufgegriffen werden.

Die Überlegungen basieren auf dem Umstand, daß das genetische Potential zur Ertragsbildung von Einzelpflanzen innerhalb eines Bestandes streut. Zusätzlich kann argumentiert werden, daß der Boden als Lagersystem für Pflanzennährstoffe inhomogen ist. So fanden STENGER et al., daß bei einem Vergleich von Bodenproben, die jeweils paarweise in einem Abstand von 2 cm an den Knotenpunkten eines 2 * 2 Meter-Gitternetzes gezogen werden, die Nmin-Werte für diese Paare bis zu 70 % auseinanderliegen. Dieser an Bedeutung nicht zu unterschätzende Sachverhalt wird unterstrichen durch weitere Ergebnisse der gleichen Untersuchung (STENGER et al., 1993, S.302ff); es wurde zwischen verschiedenen Quadraten eines 50 * 50 Meter-Rasters Nmin-Gehalte von 20 - 98 kgN/ha gefunden.

Was bedeutet die bisherigen Ausführungen im hier interessierenden Zusammenhang? Die Erzeugung von Produkten auf einem Feldstück wird durch das gegebene Niveau der nichtkontrollierbaren Wachstumsfaktoren begrenzt und hängt unterhalb dieses Maximums von der Angebotsmenge der kontrollierbaren Wachstumsfaktoren ab. Bezeichnet man Letztgenannte mit Wk, deren spezifisches Optimum mit Wkopt und den erzielbaren Ertrag mit Y, läßt sich formulieren:

Ymax ist der erzielbare Maximalertrag, die Konstante a stellt die Faktoreffizienz, also die Verwertung der eingesetzten, kontrollierbaren Produktionsfaktoren, dar.

Graphisch läßt sich dieser Zusammenhang gemäß Abbildung 1 darstellen. Die Funktion unterstellt einen "proportionalen Anstieg des Ertrages bei Variation eines Wachstumsfaktors, bis ein anderer der übrigen in bestimmter Menge vorhandenen Wachstumsfaktoren ins Minimum gerät. Ab diesem Punkt wird bei weiterer Ausdehnung des variierten Wachstumsfaktors keine Ertragssteigerung mehr erreicht, die Ertragsfunktion 'knickt' ab." (KUHLMANN 1992, S. 224).

Wird nun unterstellt, daß für die Einzelpflanze auf ihrem spezifischen Standort die LIEBIG-Funktion zutrifft, bedeutet dies nicht automatisch, daß die LIEBIG-Funktion auch die Ertragsentwicklung eines Pflanzenbestands als Ganzes zutreffend beschreibt. Dies ist versucht, mit Abbildung 2 zu zeigen.

Abbildung 2 stellt einen Standort dar, der - aus Gründen der besseren Darstellbarkeit lediglich - durch fünf verschiedene Systempotentiale (20, 40, 60, 80 und 100 dt/ha) gekennzeichnet, also inhomogen in oben diskutierten Sinne, ist. Das Systempotential als erreichbarer Maximalertrag eines Standortes ergibt sich u.a. aus dem genetischen Potential der angebauten Sorte und dem Potential der natürlichen Standortfaktoren, also beispielsweise aus Wärmesumme, Niederschlagsmenge und Feldkapazität.

Im oberen Drittel dar Abbildung beträgt die Wahrscheinlichkeit des Eintretens der verschiedenen Systempotentiale jeweils 20 %; vereinfacht kann dieser Umstand so beschrieben werden, daß ein 1 Hektar messendes Feldstück ein Fünftel der Fläche mit einem Systempotential von 20 dt/ha, ein Fünftel mit einem solchen von 40 dt/ha usw. aufweist. Der Ertragsverlauf für alle beschriebenen Systempotentiale ist in Abhängigkeit von steigender Angebotsmenge der kontrollierbaren Wachstumsfaktoren jeweils aus den einzelnen Kurvenverläufen ersichtlich. Vereinfacht ist unterstellt, daß sich diese Wachstumsfaktoren einzig durch die Düngung treffend beschreiben lassen. Es wird ersichtlich, daß beispielsweise ein N-Angebot von 150 auch bei einem hohen Systempotential lediglich zu dem durch den kontrollierten Wachstumsfaktor induzierten Ertrag von 75 führt (Faktoreffizienz = a = 0,5), da für diesen Fall das N-Angebot den limitierenden Faktor darstellt, und nicht mehr das Systempotential. Auf der anderen Seite führt das selbe N-Angebot auf einem Teilstück, das lediglich ein Systempotential von 40 dt ausweist, zu keinem höheren Ertrag, weil in diesem Fall das Systempotential, nicht das N-Angebot, limitierend wirkt. Für den gesamten Pflanzenbestand ergibt sich allerdings die im oberen Drittel der Abbildung gezeigte, gekrümmte Durchschnittsertragskurve. Bei der unterstellten großen Streuung des Systempotentials ergibt sich ein sehr "flacher" Verlauf dieser Durchschnittsfunktion.

Der Fall einer geringeren Streuung des Systempotentials ist im mittleren Drittel der Abbildung dargestellt. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten betragen hier, wie auch in der Abbildung zu sehen, für ein Systempotential von 20 bzw. 100 dt 5 %, für ein Systempotential von 40 bzw. 80 dt 15 % und für 60 dt 60 %. Für die hierfür zutreffende durchschnittliche Ertragsfunktion ergibt sich eine Krümmung in einem wesentlich engeren Bereich, die Annäherung an den Verlauf der LIEBIG-Funktion ist erkennbar.

Streuen die Systempotentiale überhaupt nicht mehr, gilt also für den gesamten Schlag ein Systempotential von 60 dt/ha, so ergibt sich folgerichtig auch keine Abweichung der durchschnittlichen Ertragsfunktion von der linear-limitationalen Funktion.

Die Konsequenzen der soeben geschilderten Sachverhalte auf die optimale Düngestrategie unter ökonomischen Gesichtspunkten zeigt Abbildung 3. Der Kurvenverlauf, d.h. die Ausprägung des ertragsgesetzlichen Verlaufs der Produktionsfunktion (Leistung) wird durch die der limitierend wirkenden Produktionsfaktoren unterliegenden Verteilungsfunktion bestimmt. Mit abnehmender Varianz der Verteilung nähert sich die Produktionsfunktion der linear-limitationalen Funktion an. Dies bedeutet in letzter Konsequenz, daß die Ertragsbildung ganzer Pflanzenbestände um so mehr der LIEBIG-Funktion gehorchen dürfte, je homogener beispielsweise das Saatgut wird, je homogener die individuellen Standräume der Pflanzen werden und je gleichbleibender für ausreichende Wasserverhältnisse gesorgt werden kann. Die Fortschritte der letzten Jahre bezüglich dieser Kriterien (modernes Saatgut, Meliorationsmaßnahmen der Landwirte zur Schaffung gleichmäßigerer Bodenbedingungen in den Schlägen, differenzierte Bearbeitung der Standorte entsprechend ihres variierenden Systempotentials -Stichwort "Teilflächenbearbeitung"-, Beregnung) führen also dazu, daß die Ertragsfunktionen einen immer engeren Bereich des kurvenartigen Verlaufs aufweisen. Damit dürfte sich die "richtige" Produktionsfunktion immer mehr der LIEBIG-Funktion anpassen. Darauf hat bereits KUHLMANN (1992) hingewiesen.

In Abbildung 3 sind die ökonomischen Konsequenzen aufgezeigt: Bei gleichbleibenden Kosten für das Stickstoff-Angebot wird der erzielte Deckungsbeitrag um so höher, je geringer die Varianz des Systempotentials ausfällt. Gleichzeitig liegt das optimalen Düngerangebot auf einem niedrigeren Niveau. Die abnehmende Streuung der nichtkontrollierbaren Produktionsfaktoren haben also über die ökonomischen Wirkungen hinaus noch weitere Konsequenzen, die hier kurz am Rande erwähnt werden sollen: Die Annäherung an eine linear-limitationale Produktionsfunktion führt zu einer geringeren Verschwendung der kontrollierbaren Produktionsfaktoren. Im Beispiel heißt dies, daß weniger Flächen geringeren Ertragspotentials überdüngt werden. Neben der positiven Umweltwirkung bedeutet dies auch eine Steigerung des Deckungsbeitrages bei gleichzeitig sinkenden Aufwandsmengen.

Bisher wurde von der LIEBIG-Funktion als Basis zur Schätzung der durchschnittlichen Produktionsfunktion auf einem Standort ausgegangen. Die hieraus abgeleiteten Sachverhalte gelten prinzipiell aber auch dann, wenn die Überlegungen auf mehrere Standorte bzw. Schläge übertragen werden. Die oben diskutierten Ergebnisse verlieren auch nicht an Gültigkeit, wenn die zu Grunde gelegten Produktionsfunktionen ertragsgesetzlichen Verlauf aufweisen, also von der Vorstellung der linear limitationalen Produktionsfunktion abgerückt wird. Dies ist in Abbildung 4 gezeigt. Hier weisen die Basisfunktionen nicht mehr den "Knick" der LIEBIG-Funktion auf, sondern einen kurvenförmigen Verlauf, wie er etwa für die zum Zwecke der Ertragsschätzung immer wieder verwendeten Polynome zweiten Grades zutrifft. Exemplarisch ist hier von dem Fall der hohen Varianz des Systempotentials ausgegangen (vgl. Abbildung 2).

Es wird auch hier deutlich, daß der Verlauf der Durchschnittsfunktion wesentlich "flacher" - also das negative quadratische Glied des Polynoms zweiten Grades kleiner - ist, als in dem ökonomisch und produktionstechnisch interessierenden Bereich der Krümmung der Ausgangsfunktionen. Die Auswirkungen liegen auf der Hand: Die Ableitung ökonomischer und produktionstechnischer Konsequenzen aufgrund von Preisvariationen fallen wegen der geringeren Krümmung der Durchschnittsfunktion wesentlich stärker aus - etwa bei unterstellten Faktorpreiserhöhungen -, als es nach den Ausgangsfunktionen tatsächlich eintreten würde. Mit anderen Worten: Würde versucht, eine Prognose der Intensitätsrückführung aufgrund von Faktorpreiserhöhungen mit Hilfe der geschätzten Durchschnittsfunktion durchzuführen, so würde diese Prognose eine wesentlich stärkere Intensitätssenkung vorhersagen, als sie tatsächlich eintreten wird.

So ist es dann auch nicht verwunderlich, daß FUCHS et al. mit einer auf Basis von Schlagkarteidaten ermittelten Produktionsfunktion ertragsgesetzlichen Verlaufs eine sehr starke Intensitätsrückführung, verursacht durch Preisrückgang für landwirtschaftliche Produkte, errechnen (FUCHS et al., 1995, S. 184). Auf der anderen Seite aber stehen dagegen empirische Erhebungen, beispielsweise dokumentiert bei ZEDDIES (1994): In einer Befragung von Landwirten wurde gefunden, daß knapp 80% für den Fall sinkender Produktpreise die spezielle Intensität - hier den Stickstoffeinsatz - im Getreidebau nicht zurückführen werden (ZEDDIES, 1994, S.92). Dies ist vor geschildertem Hintergrund verständlich, denn keiner der Landwirte handelt nach der statistisch ermittelten - sehr flach verlaufenden - Durchschnittsfunktion, dem "Ertragsgesetz", sondern nach Funktionen mit einer wesentlich stärkeren Krümmung im relevanten Bereich oder sogar der LIEBIG-Funktion. Dies zeigt auch die handlungsorientierte Diskussion von Produktionsfunktionen.

3 Eine handlungsorientierte Diskussion von Produktionsfunktionen

Selbst wenn, allen Argumenten ungeachtet, das Gesetz vom abnehmenden Ertragszuwachs als anzuwendende Regel für die Ertragsbildung angesehen wird, ist damit noch nicht geklärt, nach welchem Typ von Produktionsfunktion Landwirte tatsächlich handeln. Diese Diskussion kann hier nur angesprochen werden, für eine ausführlich Darstellung sei verwiesen auf WAGNER (1994).

Es kann vermutet werden, daß Landwirte ihre Düngestrategien nicht nach Produktionsfunktionen ertragsgesetzlichen Verlaufs festlegen. Die Gründe für dieses Verhalten der Landwirte liegen im ökonomischen Bereich, sie sind aber weniger in der Betrachtung der mehrjährigen Durchschnitte von Grenzleistung und Grenzkosten zu suchen - aus denen sich individuelle und standortspezifische Produktionsfunktionen ermitteln ließen -, als im Bereich der Unsicherheit, also des Risikos. Das Kernproblem hierbei ist der Umstand, daß, wenn der Landwirt "zu wenig" düngt, er in Gefahr läuft, daß Systempotential nicht auszuschöpfen. Ihm würden also in "guten" Jahren mit "zu geringer" Düngung der Einkommensbeitrag entgehen, den er bei Düngung auf das Systempotential erreicht hätte. Mit der Reduzierung des (geringen) Risikos zuviel zu düngen, ginge ein (beträchtlicher) Verzicht auf Chancen einher: Würde ein "schlechtes" Jahr eintreten und der Landwirt hätte auf die Erreichung des Systempotentials gedüngt, so fiele der finanzielle Verlust durch die "Verschwendung" von Dünger wesentlich geringer aus als der entgangene Gewinn in einem "guten" Jahr, in dem das Systempotential wegen zu niedriger Düngung nicht erreicht werden kann.

Literaturverzeichnis

BAEUMER, K. (1994): Düngung. In: DIERKS R. und R. HEITEFUSS (Hrsg.), Integrierter Landbau, 2. Aufl., München, S.88 -110. BERG, E. (1994): Einige Überlegungen zum optimalen Stickstoffeinsatz unter Berücksichtigung des Risikos. Unveröffentlichtes Manuskript. FUCHS, C., JENE, B., MURSCHEL, B. und ZEDDIES, J. (1995): Bilanzierung klimarelevanter Spurengase CO2 und N2O sowie Möglichkeiten der Emmissionsminderung im Ackerbau. In: Agrarwirtschaft 44 (1995), Heft 4/5, S.175-190. GRIMM. S., PARIS, Q. und WILLIAMS, W.A. (1987): A von Liebig Model for Water and Nitrogen Crop Reponse. West. J. Agr. Econ. Vol. 12. S.182-192. KUHLMANN, F. (1992): Zum 50. Todestag von Friedrich AEREBOE: Einige Gedanken zu seiner Intensitätslehre. Agrarwirtschaft 41, H. 8/9, S. 222-230. PARIS, Q. und KNAPP, K. (1989): Estimation of von Liebig Response Functions. American Journal of Agricultural Economics, Vol. 71, Number 1, S. 178-186. STENGER, R., PRIESACK, E. und BEESE, F. (1993): Räumliche Variabilität von Nmin-Gehalten in Ackerflächen des FAM-Versuchsgutes Scheyern. In: REINER, L., GEIDEL, H. und MANGSTL, A.: Expert-N und Wachstumsmodelle. Referate des Anwenderseminars im März 1993 in Weihenstephan. WAGNER, P. (1994): Konsequenzen für die Projektion von Politikmaßnahmen bei Annahme unterschiedlicher Produktionsfunktionen. Referat, gehalten am 6.10.1994 auf der 35.Jahrestagung der GEWISOLA in Hohenheim. In: Schriften der Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften des Landbaus e.V., Band 31 (im Druck). ZEDDIES, J. (1994): Auswirkungen der direkten Einkommensübertragungen und Fördermaßnahmen auf den Strukturwandel und die Leistungsbereitschaft der Landwirtschaft - am Beispiel Westfalen-Lippe. Münster-Hiltrup.